Задача 53714

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через точку O, взятую на стороне правильного треугольника ABC, проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC, и пересекающие стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Окружность, проходящая через точки O, K и L пересекает стороны AC и AB соответственно в точках Q и P, отличных от K и L. Докажите, что треугольник OPQ — равносторонний.

Подсказка

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Решение

Поскольку дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, меньшая дуга OQ равна меньшей дуге LK, поэтому

OPQ = LOK = 60^o.

Из равенства меньших дуг PK и OL следует равенство меньших дуг OP и KL, поэтому

OQP = LOK = 60^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1448