Версия для печати
Убрать все задачи

---

Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?

   Решение

---

В эстафетном забеге Москва—Петушки участвовали две команды по $20$ человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на $20$ не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных участников могут быть различны). Первые участники обеих команд стартовали одновременно, а передача эстафеты происходит мгновенно. Какое максимальное количество обгонов могло быть в таком забеге? Опережение на границе этапов обгоном не считается.

   Решение

---

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.
Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

   Решение

---

Докажите равенство

   Решение

---

На экране суперкомпьютера напечатано число $11\ldots 1$ ($900$ единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде $\overline{AB}$, где $B$ состоит из двух его последних цифр, и заменяется на $2\cdot A + 8\cdot B$ (если $B$ начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, $305$ заменяется на $2\cdot 3 + 8 \cdot 5 = 46$. Если на экране остаётся число, меньшее $100$, то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится?

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  ∠PAC = ∠PBC.  Из точки P на стороны BC и CA опущены перпендикуляры PM и PK соответственно. Пусть D – середина стороны AB. Докажите, что  DK = DM.

Подсказка

Докажите равенство треугольников KED и DFM, где E и F – середины AP и BP.

Решение

  Пусть  ∠PAC = ∠PBC = α.  Если E и F – середины AP и BP соответственно, то  ∠KEP = ∠MFP = 2α.  Поскольку DE и DF – средние линии треугольника APB, то DEPF – параллелограмм.
  KE = EP = DF  и  ED = FP = FM,  ∠KED = 2α + ∠PED = 2α + ∠PFD = ∠MFD.   Поэтому треугольники KED и DFM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  DK = DM.

Источники и прецеденты использования