Информация о задаче

Задача 53070

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон AC и BC в точках M и N соответственно и пересекает биссектрису BD в точках P и Q. Найдите отношение площадей треугольников PQM и PQN, если $\angle$ A = ${\frac{\pi}{4}}$ , $\angle$ B = ${\frac{\pi}{3}}$ .

Подсказка

Выразите расстояние от точек N и M до прямой BD через радиус окружности.

Решение

$\angle$ AMB = $\angle$ BNA = 90^o как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, поэтому AN и BM — высоты треугольника ABC. Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то прямые CK и AB перпендикулярны.

Пусть R — радиус вписанной окружности, O — её центр, F и K — проекции точек M и N на BD. Из прямоугольного треугольника NOB находим, что

$\displaystyle \angle$ NOB = 90^o - $\displaystyle \angle$ NBO = 90^o - 30^o = 60^o.

Из прямоугольных треугольников NKO и DMO находим, что

NK = ON sin $\displaystyle \angle$ NOB = R sin 60^o = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{2}}$ ,

$\displaystyle \angle$ FMO = $\displaystyle \angle$ MDO = $\displaystyle \angle$ CAB + $\displaystyle \angle$ ABD = 45^o + 30^o = 75^o.

Поэтому

MF = MO cos 75^o = R sin 15^o.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta PQM}}{S_{\Delta PQN}}}$ = $\displaystyle {\frac{R\sin 15^{\circ}}{\frac{R\sqrt{3}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$ sin 15^o.

Ответ

${\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{6}}}$ = ${\frac{2}{\sqrt{3}}}$ sin ${\frac{\pi}{12}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	739