Информация о задаче

Задача 52472

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Три равные окружности имеют общую точку H, а точки их пересечения, отличные от H, образуют остроугольный треугольник ABC. Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Подсказка

$\displaystyle \angle$ BAH = $\displaystyle \angle$ BCH, $\displaystyle \angle$ ABH = $\displaystyle \angle$ ACH, $\displaystyle \angle$ CBH = $\displaystyle \angle$ CAH.

Решение

Заметим, что

$\displaystyle \angle$ BAH = $\displaystyle \angle$ BCH, $\displaystyle \angle$ ABH = $\displaystyle \angle$ ACH, $\displaystyle \angle$ CBH = $\displaystyle \angle$ CAH.

Обозначим эти углы $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ соответственно. Тогда 2 $\alpha$ + 2 $\beta$ + 2 $\gamma$ = 180^o. Поэтому $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 90^o.

Пусть K — точка пересечения прямой BH с отрезком AC. Тогда

$\displaystyle \angle$ BKC = 180^o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$ = 90^o.

Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	134