|
|
 |
Условие
В выражении 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким
а) наибольшим; б) наименьшим может быть это число?
Решение
а) В результате расстановки скобок данное выражение можно будет представить в виде дроби, где некоторые из данных чисел попадут в числитель, а другие – в знаменатель. Очевидно, при любой расстановке скобок число 10 попадёт только в числитель, а 9 – только в знаменатель. Поэтому, чтобы получить наибольшее возможное число, надо все остальные числа поместить в числитель. Это возможно, и потому наибольшее значение равно
10 : (9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1) = .
б) Если число 7 попадёт в знаменатель дроби, то получится нецелое число, поскольку эту семерку будет не с чем сократить. Следовательно, число 7 должно оказаться в числителе, и получившееся в итоге целое число будет делиться на 7. Но наименьшее целое, кратное 7, – это 7. Остальные числа можно разбить на две группы с равным произведением, причём так, чтобы числа 10 и 9 попали в разные группы: 10·6·4·3 = 9·8·5·2·1. Это равенство даёт возможность так расставить скобки, чтобы получилось как раз число 7: 10 : 9 : (8 : 7 : (6 : (5 : 4 : (3 : 2 : 1)))) =
.
Ответ
а) 44800; б) 7.
Замечания
Баллы: 2 + 3
