Задача 116158

Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Блинков Ю.А.

Пусть AA₁ и BB₁ – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника AB, M – середина AB. Описанные окружности треугольников AMA₁ и BMB₁, пересекают прямые AC и BC в точках K и L соответственно. Докажите, что K, M и L лежат на одной прямой.

Решение 1

  Докажем, что точки K и M лежат на серединном перпендикуляре к отрезку A₁B₁.
  M – середина AB, значит,  AM = MB₁ = MA₁. Так как равные хорды стягивают равные дуги, то KM – биссектриса угла AKA₁. Также
∠KB₁M = 180° – ∠AB ₁M = 180° – ∠B₁AM = ∠KA₁M.  Значит, треугольники KB₁M и KA₁M равны, и  KB₁ = KA₁,  что и требовалось.
  Для точки L доказательство аналогично.

Решение 2

  Поскольку M – центр окружности, описанной вокруг четырёхугольника BA₁B₁A, то  ∠MB₁B = ∠MBB₁ = ∠AA₁B₁  и  ∠MAA₁ = ∠MA₁A.  Поскольку четырёхугольник MAKA₁ – вписанный, то  ∠A₁MK = ∠A₁AK.  Следовательно,  ∠MA₁A + ∠AA₁B₁ + ∠A₁MK = ∠MAA₁ + ∠ABB₁ + ∠A₁AB₁ = 90°.  Из этого следует, что  A₁B₁ ⊥ MK.
  Аналогично доказывается, что  A₁B₁ ⊥ ML.  Значит, прямые MK и ML совпадают.

Решение 3

  Пусть прямые AC и BCпересекают серединный перпендикуляр к AB в точках P и Q соответственно.

  Тогда AQ – диаметр описанной окружности треугольника AMA₁. Aналогично BP – диаметр описанной окружности треугольника BMB₁.
  Используя свойство вписанных углов и то, что треугольники ABQ и ABP равнобедренные, получим ∠QMK = ∠QAK = ∠QBP = ∠PBL = ∠PML, откуда и следует утверждение задачи.

Замечания

Утверждение задачи верно и для тупоугольного треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	09 (2011 год)
Дата	2011-04-10
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	5