ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116019
Условие В выпуклом четырёхугольнике ABCD: ∠ВАС = 20°, ∠ВСА = 35°, ∠ВDС = 40°, ∠ВDА = 70°. РешениеДокажем, что точка D – центр описанной окружности треугольника ABC. Это можно сделать различными способами. Первый способ. Опишем окружность около треугольника ABC и продолжим отрезок BD до пересечения с этой окружностью в точке K (рис. а). Так как ∠ВKС = ∠ВАС = 20°, то ∠KCD = ∠ВDС – ∠DKС = 20° (угол ВDС – внешний для треугольника KDC). Следовательно, DC = DK. Второй способ. На луче AD отметим точку М так, что отрезок DM = DB (рис. б). Тогда ∠
DВM = ∠BMD = ½ ∠ВDА = 35° = ∠ВСА, следовательно, точки A, B, C и M лежат на одной окружности. Третий способ. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника ABC лежит в той же полуплоскости относительно прямой АС, что и точка D (рис. а, б). Он является пересечением двух ГМТ: из которых отрезок BC виден под углом α = 2∠ВАС = 40° и из которых отрезок AB виден под углом Пусть T – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. ∠DBA = ½ (180° – ∠BDA) = 55°, угол BTC – внешний для треугольника BTА, значит, ∠ВTC = ∠TАВ + ∠АВТ = 75°. Ответ75°. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|