ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116019
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В выпуклом четырёхугольнике ABCD:  ∠ВАС = 20°,  ∠ВСА = 35°,  ∠ВDС = 40°,  ∠ВDА = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.


Решение

  Докажем, что точка D – центр описанной окружности треугольника ABC. Это можно сделать различными способами.

  Первый способ. Опишем окружность около треугольника ABC и продолжим отрезок BD до пересечения с этой окружностью в точке K (рис. а). Так как  ∠ВKС = ∠ВАС = 20°,  то  ∠KCD = ∠ВDС – ∠DKС = 20°  (угол ВDС – внешний для треугольника KDC). Следовательно,  DC = DK.
  Аналогично, так как  ∠ВKА = ∠ВСА = 35°,  а  ∠ВDА = 70°,  то  ∠KАD = 35°,  то есть  DK = DA.

  Второй способ. На луче AD отметим точку М так, что отрезок  DM = DB  (рис. б). Тогда  ∠ DВM = ∠BMD = ½ ∠ВDА = 35° = ∠ВСА, следовательно, точки A, B, C и M лежат на одной окружности.
  Аналогично, отметив на луче CD точку Р так, что  DP = DB,  получим, что точка P лежит на той же окружности. Точка D равноудалена от точек В, М и Р, поэтому она является центром полученной окружности.

  Третий способ. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника ABC лежит в той же полуплоскости относительно прямой АС, что и точка D (рис. а, б). Он является пересечением двух ГМТ: из которых отрезок BC виден под углом  α = 2∠ВАС = 40° и из которых отрезок AB виден под углом
β = 2∠ВСА = 70°.
  В указанной полуплоскости эти ГМТ являются дугами окружностей, которые имеют единственную общую точку. По условию, из точки D эти же отрезки видны под такими же углами, поэтому точка D совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC.

  Пусть T – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD.  ∠DBA = ½ (180° – ∠BDA) = 55°,  угол BTC – внешний для треугольника BTА, значит,  ∠ВTC = ∠TАВ + ∠АВТ = 75°.


Ответ

75°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
1
Класс 9
задача
Номер 9.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .