Версия для печати
Убрать все задачи

---

В папирусе Ринда (Древний Египет) среди прочих сведений содержатся разложения дробей в сумму дробей с числителем 1, например,
²/₇₃ = ¹/₆₀ + ¹/₂₁₉ + ¹/₂₉₂ + ¹/_x. Один из знаменателей здесь заменён буквой x. Найдите этот знаменатель.

   Решение

---

Если Конек-Горбунок не будет семь суток есть, или спать, то лишится волшебной силы. Допустим, он в течение недели не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток — поесть или поспать, чтобы не потерять силу?

   Решение

---

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x_{1, 2} = a±ib = re^±i. Докажите, что для некоторой пары чисел c₁, c₂ будет выполняться равенство

   Решение

---

Докажите, что каково бы ни было целое число n, среди чисел n,  n + 1,  n + 2,  n + 3,  n + 4  есть хотя бы одно число взаимно простое с остальными четырьмя из этих чисел.

   Решение

---

Найдите наибольший возможный объём цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27 и радиус основания равен 9.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки D, E и F выбраны на сторонах AC, AB и BC равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC)  так, что  DE = DF  и при этом  AE + FC = AC.
Докажите, что  ∠A = ∠FDE.

Решение

  Отметим на основании AC точку D', для которой  CD' = AE.  Тогда  AD' = FC,  поэтому треугольники AED' и CD'F равны по двум сторонам и углу между ними, значит,  D'E = D'F.
  Точки D и D' равноудалены от концов отрезка EF, поэтому обе они лежат на серединном перпендикуляре к EF, а значит, совпадают. Следовательно,
∠A = ∠EAD = 180° – ∠ADE – ∠AED = 180° – ∠ADE – ∠CDF = ∠FDE.

Источники и прецеденты использования