ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 115688
УсловиеХорды XK и XM окружности делят её диаметр AB на три равные части. Докажите, что 5KM 3AB .РешениеПусть O — центр окружности, а хорды XK и XM пересекают диаметр AB в точках C и D соответственно (рис.1). Обозначим, AC=CD=BD=a , CXD = KXM = α , CX=x , DX=y . Тогда радиус окружности равен . По теореме синусов KM = AB sin KXM = 3a sin α , а т.к. угол MXK острый, то хорда KM тем больше, чем больше α . По формуле для медианы треугольника 4OX2=2CX2+2DX2-CD2 , или 4· a2=2x2+2y2-a2 , откуда находим, что x2+y2=5a2 , поэтому причём равенство достигается, если x=y , т.е. когда точка X совпадает с серединой дуги AB . По теореме косинусов значит, максимальное значение α равно arccos и достигается, когда X — середина дуги AB . В этом случае, В остальных случаях 5KM < 3AB . Пусть O — центр окружности, а хорды XK и XM пересекают диаметр AB в точках C и D соответственно (рис.2). Обозначим, AC=CD=BD=a , CXD = KXM = α . Тогда радиус окружности равен . По теореме синусов KM = AB sin KXM = 3a sin α , а т.к. угол MXK острый, то хорда KM тем больше, чем больше α . Опишем окружность около треугольника CDX0 . Для любой отличной от X0 точки рассматриваемой дуги AB данной окружности CXD < AX0D , т.к. точка X лежит вне описанной окружности треугольника CDX0 . Следовательно, максимальное значение α равно 2 arctg = arccos и достигается, когда X — середина дуги AB . В этом случае, В остальных случаях 5KM < 3AB . Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|