В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) высота AE = 12, а основание AC = 15. Найдите площадь треугольника.

   Решение

Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды равны a . Найдите объём пирамиды.

   Решение

Юра и Яша имеют по экземпляру одной и той же клетчатой таблицы 5×5, заполненной 25 различными числами. Юра выбирает наибольшее число в таблице и вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее из оставшихся чисел и вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Яша производит аналогичные действия, но выбирает наименьшие числа. Может ли случиться, что сумма чисел, выбранных Яшей
  a) больше суммы чисел, выбранных Юрой?
  б) больше суммы любых других пяти чисел исходной таблицы, удовлетворяющих условию: никакие два из них не стоят в одной строке или в одном столбце?

   Решение

Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2},....

   Решение

Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки – своего). Вначале лампы не горят.
  а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, – степень двойки.
  б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп?

   Решение

Правильная игральная кость бросается много раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных до того момента, когда сумма всех выпавших очков достигнет 2010 (то есть стала не меньше 2010).

   Решение

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах диагоналей и в серединах оснований трапеции, если её боковые стороны равны a и b .

Решение

Пусть K и M — середины диагоналей соответственно AC и BD трапеции ABCD , а L и N — середины оснований соответственно BC и AD , причём AB CD , AB=a и CD=b .
Отрезки KL и MN — средние линии треугольников ABC и ABD с общим основанием AB , поэтому KL || AB , KL=AB=a , MN || AB , MN=AB=a . Аналогично, KN=LM=CD=b . Противоположные стороны четырёхугольника KLMN попарно равны, значит, это параллелограмм, а т.к. его стороны соответственно параллельны боковым сторонам AB и CD трапеции ABCD , то KLMN — прямоугольник. Его площадь равна произведению соседних сторон, причём KL=a и LM = b . Следовательно,

S_KLMN=KL· LM = AB· CD= a· b=ab.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования