Задача 115454
|
|
 |
Условие
В течение 92 дней авиакомпания ежедневно выполняла по десять рейсов. За день каждый самолет выполнял не более одного рейса. Известно, что для любой пары дней найдется один и только один самолет, летавший в оба эти дня. Докажите, что есть самолет, летавший каждый день.Решение
Рассмотрим 10 самолетов, летавших в первый день. Хотя бы один из них должен был летать еще, по крайней мере, 10 дней (так как в каждый из оставшихся 91 день летал один из этих десяти самолетов).Рассмотрим самолет, летавший не менее одиннадцати дней. Без ограничения общности можно считать, что это были дни с первого по одиннадцатый (и возможно еще какие-нибудь). Предположим, что есть день А , в который этот самолет не летал, тогда для каждого из первых одиннадцати дней и дня А найдется самолет, летавший в этот день и в день А . Для каких-то двух из одиннадцати дней (например, для первого и для второго) эти самолеты совпадут, поскольку в день A совершить более десяти рейсов невозможно. Получим противоречие: два самолета летало как в первый день, так и во второй.
