Версия для печати
Убрать все задачи

---

В папирусе Ринда (Древний Египет) среди прочих сведений содержатся разложения дробей в сумму дробей с числителем 1, например,
²/₇₃ = ¹/₆₀ + ¹/₂₁₉ + ¹/₂₉₂ + ¹/_x. Один из знаменателей здесь заменён буквой x. Найдите этот знаменатель.

   Решение

---

Если Конек-Горбунок не будет семь суток есть, или спать, то лишится волшебной силы. Допустим, он в течение недели не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток — поесть или поспать, чтобы не потерять силу?

   Решение

---

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x_{1, 2} = a±ib = re^±i. Докажите, что для некоторой пары чисел c₁, c₂ будет выполняться равенство

   Решение

---

Докажите, что каково бы ни было целое число n, среди чисел n,  n + 1,  n + 2,  n + 3,  n + 4  есть хотя бы одно число взаимно простое с остальными четырьмя из этих чисел.

   Решение

---

Найдите наибольший возможный объём цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27 и радиус основания равен 9.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан равносторонний треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки X, Y и Z соответственно так, что  BZ = 2AY  и  ∠XYZ = 90°.
Докажите, что  AX + CZ = XZ.

Решение

Через точку Z параллельно стороне AB проведём прямую до пересечения со стороной AC в точке P. Тогда треугольник CPZ – также равносторонний, поэтому  ZP = CZ = CP  и  AP = BZ = 2AY,  то есть Y – середина отрезка AP. Продолжим катет ZY до пересечения с прямой AB в точке K. Тогда треугольники AKY и PZY равны по стороне и двум углам  (∠KAY = ∠ZPY = 120°),  поэтому  AK = ZP = CZ,  а Y – середина отрезка KZ. Треугольник KXZ – равнобедренный, так как его высота XY является медианой. Следовательно,  XZ = KX = AX + AK = AX + ZP = AX + CZ.

Источники и прецеденты использования