Версия для печати
Убрать все задачи

---

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Средняя линия треугольника ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки P и Q – середины оснований AD и BC трапеции ABCD соответственно. Оказалось, что  AB = BC,  а точка P лежит на биссектрисе угла B.
Докажите, что  BD = 2PQ.

Решение 1

Пусть Q₁ – середина стороны AB. Треугольники BPQ₁ и BPQ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  PQ = PQ₁, а так как  PQ₁ – средняя линия треугольника ABD, то  PQ₁ = ½ BD.  Следовательно,  PQ = PQ₁ = ½BD.

Решение 2

Точка P лежит на биссектрисе угла B и  BC || AD,  поэтому ∠APB = ∠CBP = ∠ABP.  Значит, треугольник APB – равнобедренный,  AB = AP.  Таким образом,  BC = AB = AP = PD  и   BC || AP.  Следовательно, четырёхугольник ABCP – ромб, а BPDC – параллелограмм. Точка O пересечения диагоналей CP и BD этого параллелограмма – середина каждого из отрезков CP и AD. Медианы PQ и BO равнобедренного треугольника BPC, проведённые к равным сторонам, равны, следовательно,  PQ = BO = ½ BD.

Источники и прецеденты использования