Задача 115299

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

AA1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC , в котором ABC = 45^o . Точки O и H — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC . Докажите, что прямая A1C1 проходит через середину отрезка OH .

Решение

Центр O описанной окружности треугольника ABC — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Острый угол при вершине B прямоугольного треугольника BC1C равен 45^o , поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный. Его высота, проведённая из вершины C1 , проходит через середину основания BC , а значит, является серединным перпендикуляром к стороне BC . Аналогично, высота прямоугольного треугольника AA1B является спрединным перпендикуляром к стороне AB и также проходит через точку O . Т.к. AA1 BC и OC1 BC , то AA1 || OC1 . Аналогично, CC1 || OA1 . Значит, четырёхугольник OA1HC1 — параллелограмм. Следовательно, его диагональ A1C1 проходит через середину диагонали OH .

Пусть прямая C1O пересекает сторону BC в точке A2 . Предположим, что уже доказано, что A2 — середина BC . Поскольку точки C1 , A1 и A2 лежат на окружности девяти точек, а угол C1A2A1 — прямой, то A1C1 — диаметр этой окружности. Известно, что центр окружности девяти точек — середина отрезка OH . Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3405