Ищем верное утверждение. В тетради написано сто утверждений:
1) В этой тетради ровно одно ложное утверждение.
2) В этой тетради ровно два ложных утверждения.
...
100) В этой тетради ровно сто ложных утверждений.
Какое из этих утверждений верно, если известно, что только одно верное?

   Решение

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны  BC = a,  AC = b,  AB = c  треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причём  a < b < c.  Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB₁ пополам.

Решение

  По условию   a + c = 2b.  Пусть p – полупериметр треугольника ABC, а P – точка касания вписанной окружности со стороной AB. Тогда
p = ½ (a + b + c) = ^3b/₂,  BP = p – AC = p – b = ^b/₂.
  Обозначим  ∠A = α,  ∠B = β.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠AOB₁ = ∠BAO + ∠ABO = ∠OAC + ∠CBB₁ = ^α₂ + ^β/₂,  значит, треугольник OAB₁ – равнобедренный,  OB₁ = AB₁.  Опустим перпендикуляр B₁M на сторону AC. Тогда M – середина AC и  AM = ½ AC = ^b/₂ = BP,  поэтому прямоугольные треугольники BOP и AB₁M равны по катету и острому углу. Следовательно,  BO = AB₁ = OB₁.

Источники и прецеденты использования