Задача 111568

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Высоты AA1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H . Точка B0 – середина стороны AC . Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB0 и HB0 относительно биссектрис углов ABC и AHC соответственно, лежит на прямой A1C1 .

Решение

Из точек A1 и C1 отрезок AC виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC , поэтому

BA1C1 = 180^o- CA1C1= 180^o-(180^o- CAB) = CAB.
Аналогично, BC1A1 = ACB . При симметрии относительно биссектрисы угла ABC точка A1 перейдёт в некоторую точку A2 , лежащую на прямой AB , а точка C1 – в точку C2 , лежащую на прямой BC , при этом
BC2A2 = BC1A1 = ACB.
Следовательно, A2C2 || AC , поэтому треугольник BA2C2 гомотетичен треугольнику BAC , значит, медиана BB0 треугольника ABC проходит через середину отрезка A2C2 . Тогда прямая, симметричная BB0 относительно биссектрисы угла ABC , проходит через середину отрезка A1C1 . Заметим, что B – точка пересечения высот тупоугольного треугольника AHC , а HB0 – медиана этого треугольника. Аналогично предыдущему доказывается, что прямая, симметричная HB0 относительно биссектрисы угла AHC , также проходит через середину отрезка A1C1 . Следовательно, прямые, о которых говорится в условии задачи, пересекаются на прямой A1C1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4673