|
|
 |
Условие
Серёжа вырезал из картона две одинаковые фигуры. Он положил их с нахлёстом на дно прямоугольного ящика. Дно оказалось полностью покрыто. В центр дна вбили гвоздь. Мог ли гвоздь проткнуть одну картонку и не проткнуть другую?
Решение
Первый способ. Пусть картонки изначально лежат одна на другой
и их края совпадают. Если картонки являются квадратными, перенеся одну вдоль другой и наложив их, легко сложить прямоугольник, но его центр будет лежать внутри обеих (рис. слева). Это можно исправить, заметив, что центр получившегося прямоугольника не совпадает с центром первой квадратной картонки. Поэтому, вырезав небольшую дырочку из первой картонки в центре прямоугольника, мы можем получить решение (рис. в центре).
Второй способ. См рис. справа.
Замечания
Если картонки не накладываются друг на друга и полностью покрывают дно прямоугольного ящика, то гвоздь в центре ящика обязательно воткнётся на границе, разделяющей картонки. Это утверждение кажется очевидным, но строго доказать его удалось лишь в 2002 г. (см. решение задачи 1.5 в сб. "Математическое просвещение". Третья серия. Вып.6. С.139-140).
