ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111283
УсловиеСфера вписана в правильную треугольную пирамиду SABC ( S – вершина), а также вписана в прямую треугольную призму KLMK1L1M1 , у которой KL=KM= , а боковое ребро KK1 лежит на прямой AB . Найдите радиус сферы, если известно, что прямая SC параллельна плоскости LL1M1M .РешениеЧерез прямую, не имеющую со сферой общих точек, можно провести ровно две плоскости, касающиеся сферы, поэтому плоскости граней ABC и KMM1K1 совпадают, а также совпадают плоскости граней ASB и KLL1K1 . Центр O сферы, вписанной в правильную пирамиду лежит на её высоте (рис.1). Рассмотрим сечение пирамиды и призмы плоскостью, проходящей через высоту SH пирамиды и её боковое ребро SC . В этой плоскости лежит центр O сферы и середина K2 ребра AB . Плоскость сечения проведена через прямую SC , параллельную плоскости LL1M1M , значит, секущая плоскость пересекает плоскость LL1M1M по прямой, параллельной SC . Поэтому, если L2 и M2 – точки, в которых секущая плоскость пересекает боковые рёбра LL1 и MM1 призмы, то L2M2 || SC . При этом сечение сферы проведённой плоскостью – окружность, вписанная в треугольник K2L2M2 (рис.2), в котором K2L2=K2M2= , а т.к. L2M2 || SC , то SK2= CK2 . Высота SK2 равнобедренного треугольника ASB равна высоте CK2 равностороннего треугольника ABC , поэтому ABS – также равносторонний треугольник, а правильная пирамида SABC – правильный тетраэдр. Обозначим SK2C = β , AB = SC = a . Из прямоугольного треугольника SHK2 находим, чтоТогда Пусть r – радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр SABC . Тогда r – радиус окружности вписанной в треугольник K2L2M2 . Следовательно, Ответ-1 .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|