Версия для печати
Убрать все задачи

---

Ищем верное утверждение. В тетради написано сто утверждений:
1) В этой тетради ровно одно ложное утверждение.
2) В этой тетради ровно два ложных утверждения.
...
100) В этой тетради ровно сто ложных утверждений.
Какое из этих утверждений верно, если известно, что только одно верное?

   Решение

---

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

   Решение

---

Пусть $AM$ – медиана неравнобедренного треугольника $ABC$, $T$ – точка касания вписанной окружности $\omega$ со стороной $BC$, $S$ – вторая точка пересечения $\omega$ с отрезком $AT$. Докажите, что вписанная окружность треугольника $\delta$, образованного прямыми $AM$, $BC$ и касательной к $\omega$ в точке $S$, касается описанной окружности треугольника $ABC$.

   Решение

---

В зале стоят шесть стульев в два ряда – по три стула в каждом, один ряд ровно за другим. В зал пришли шесть человек различного роста.
Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы каждый человек, сидящий в первом ряду, был ниже человека, сидящего за ним?

   Решение

---

Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.

   Решение

---

Найдите все такие пары простых чисел p и q, что  p³ – q⁵ = (p + q)².

   Решение

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка D является серединой бокового ребра BB1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 . На боковой грани AA1C1C взята точка E , на основании ABC – точка F так, что прямые EB1 и FD параллельны. Какой наибольший объём может иметь призма ABCA1B1C1 , если EB1=1 , FD= , EF= ?

Решение

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через параллельные прямые B1E и DF (рис.1). Эта плоскость содержит боковое ребро BB1 и пересекает рёбра AC и A1C1 в некоторых точках L и K соответственно. Тогда BLKB1 – прямоугольник. Обозначим KB1E = BFD = α . Из прямоугольных треугольников KB1E и BFD находим, что

KB1 = B1E cos α = cos α, KE = B1E sin α = sin α,

BF = DF cos α = cos α, BD = DF sin α = sin α.
Тогда
KL = BB1 = 2BD = sin α, EL = KL-KE = sin α- sin α= sin α,

LF = BL-BF = KB1-BF = cos α- cos α= cos α.
По теореме Пифагора LF2+EL2=EF2 , или cos2 α + sin2 α = , откуда находим, что sin α = . Тогда
cos α = , B1K=BL = cos α = .
Пусть a – сторона основания призмы. Поскольку высота призмы постоянна и равна KL= sin α = · = , объём будет наибольший при наибольшем возможном значении a . Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники с вершиной B1 и точкой K , лежащей на противоположной стороне (рис.2). Из их вершин, лежащих по одну сторону от прямой B1K , отрезок B1K виден под одним и тем же углом, равным 60^o . Значит, эти вершины лежат на одной окружности с точками B1 и K . Наибольшую сторону имеет равносторонний треугольник, сторона которого – диаметр этой окружности, поэтому наибольшую сторону имеет треугольник A1B1C1 , для которого B1K – высота, а т.к. B1K= , то
a= = = .
Следовательно,
V_призмы = · KL = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования