Версия для печати
Убрать все задачи

---

Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что  AD = BC.  Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.

   Решение

---

Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный наименьшему углу этого треугольника.

   Решение

---

Существуют ли выпуклая n -угольная ( n 4 ) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла n -угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?

   Решение

---

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB>AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ в точке $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PK$ пересекает меньшую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что в четырехугольник $ABDC$ можно вписать окружность.

   Решение

---

Из отрезков, имеющих длины a, b и c, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами , , также можно составить треугольник.

   Решение

---

Докажите, что  p_n+1 ≤ 2²ⁿ + 1,  где p_n – n-е простое число.

   Решение

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся ребра равны c . Найдите радиус описанной сферы.

Решение

Достроим данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Так как противоположные рёбра тетраэдра попарно равны, то диагонали каждой грани полученного параллелепипеда также равны. Поэтому все грани параллелепипеда – прямоугольники. Значит, параллелепипед – прямоугольный. Около него можно описать сферу. Эта сфера проходит через все вершины тетраэдра. Следовательно, задача сводится к нахождению радиуса сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда. Пусть ABCDA1B1C1D1 – полученный прямоугольный параллелепипед, а ACB1D1 – исходный тетраэдр, в котором

AC = B1D1 = a, AD1 = B1C = b, AB1 = D1C = c.
Обозначим AB = x , AD = y , AA1 = z . Тогда

откуда находим, что
x2 + y2 + z2 = (a2 + b2 + c2).
Пусть R – искомый радиус. Тогда
R = AC1 = = =

= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования