В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) высота AE = 12, а основание AC = 15. Найдите площадь треугольника.

   Решение

Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды равны a . Найдите объём пирамиды.

   Решение

Юра и Яша имеют по экземпляру одной и той же клетчатой таблицы 5×5, заполненной 25 различными числами. Юра выбирает наибольшее число в таблице и вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее из оставшихся чисел и вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Яша производит аналогичные действия, но выбирает наименьшие числа. Может ли случиться, что сумма чисел, выбранных Яшей
  a) больше суммы чисел, выбранных Юрой?
  б) больше суммы любых других пяти чисел исходной таблицы, удовлетворяющих условию: никакие два из них не стоят в одной строке или в одном столбце?

   Решение

Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2},....

   Решение

Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки – своего). Вначале лампы не горят.
  а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, – степень двойки.
  б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп?

   Решение

Правильная игральная кость бросается много раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных до того момента, когда сумма всех выпавших очков достигнет 2010 (то есть стала не меньше 2010).

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Средняя линия треугольника ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и L соответственно, причём  ∠KCB = ∠ LAB = α.  Из точки B опущены перпендикуляры BD и BE на прямые AL и CK соответственно. Точка F – середина стороны AC. Найдите углы треугольника DEF.

Решение

  Пусть M и N – середины сторон AB и BC соответственно. Обозначим  ∠B = β.  Тогда  ∠AMF = ∠CNF = β.
  Поскольку EN и DM – медианы прямоугольных треугольников CBE и ADB, проведённые из вершин прямых углов, то  EN = ½ BC = NC = MF,
DM = ½ AB = AM = NF.
  Кроме того, по теореме о внешнем угле треугольника  ∠BNE = 2α = ∠BMD,  значит,  ∠ENF = 180° – ∠BNE – CNF = 180° – 2α – β,
∠DMF = 180° – ∠BMD – AMF = 180° – 2α – β.
  Поэтому треугольники ENF и DMF равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  EF = DF.  Поскольку  ∠MFD = ∠FEN  и
∠NFE = ∠MDF  (из равенства треугольников ENF и DMF), то  ∠MFD + ∠NFE = ∠MFD + ∠MDF = 180° – ∠DMF = 2α + β.
  С другой стороны,  ∠MFD + ∠NFE = ∠MFN + ∠DFE = β + ∠DFE.  Из равенства  2α + β = β + ∠DFE  находим, что  ∠DFE = 2α.  Поэтому
∠DEF = ∠EDF = 90° – α.

Ответ

2α,  90° – α,  90° – α.

Источники и прецеденты использования