Задача 103775

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 2- Классы: 6,7

Условие

Автор: Ботин Д.А.

Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.

Подсказка

2 = 1 ^. 2; 6 = 2 ^. 3.

Решение

Можно заметить, что 2 = 1 ^. 2, 6 = 2 ^. 3, 12 = 3 ^. 4, и предположить, что n-й член последовательности равен n ^. (n + 1). Проверка на 4-м ( 20 = 4 ^. 5) и 5-м ( 30 = 5 ^. 6) членах последовательности показывает, что мы угадали. Значит, на шестом месте стоит число 6 ^. 7 = 42, а на 1994-м — 1994 ^. 1995 = 3978030.

Конечно, это не доказательство в строгом математическом смысле этого слова. Например, так можно ''доказать'', что число шестьдесят делится на все числа. Действительно, 60 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 5, на 6... Однако для решения задачи требуется только найти достаточно простое правило, следуя которому, можно получить такую последовательность. А умение увидеть, почувствовать закономерность (что требовалось в данной задаче) не менее важно для математика, чем умение строго рассуждать! Если вы найдёте какое-нибудь другое (но тоже ''достаточно простое'') правило, дающее последовательность 2, 6, 12, 20, 30, напишите, пожалуйста, нам (а на олимпиаде такое решение тоже было бы засчитано!).

Ответ

 а) 42; б)  1994 ^. 1995 = 3 978 030.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	1994
класс
	1
Класс	6
задача
Номер	2