Версия для печати
Убрать все задачи

---

В турнире участвовали пять шахматистов. Известно, что каждый сыграл с остальными по одной партии и все набрали разное количество очков; занявший первое место не сделал ни одной ничьей; занявший второе место не проиграл ни одной партии; занявший четвёртое место не выиграл ни одной партии. Определите результаты всех партий турнира.

   Решение

---

Найти число решений в натуральных числах уравнения   [^x/₁₀] = [^x/₁₁] + 1.

   Решение

---

Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y) . Найдите f(2007) , если f() = 1 .

   Решение

---

Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый из них бил ровно двух других.

   Решение

---

В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй – 80; третий – среднее арифметическое очков первых двух; четвёртый – среднее арифметическое очков первых трёх. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок? А 50-й?

   Решение

---

Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством     Докажите формулу Эйлера:   e^a+ib = e^a(cos b + i sin b).

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60873  [Иррациональность чмсла e]

Темы:   [ Число e ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Число e определяется равенством    Докажите, что

а)  

б)    где  0 < r_n ≤ 1/_n!n;

в)  e – иррациональное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76475

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Число e ] [ Произведения и факториалы ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Что больше: 300! или 100³⁰⁰?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61115  [Формула Эйлера]

Темы:   [ Комплексная экспонента ] [ Число e ] [ Предел функции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством     Докажите формулу Эйлера:   e^a+ib = e^a(cos b + i sin b).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60874  [Число e и комбинаторика]

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Число e ] [ Раскраски ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов. Докажите, что если  N > [k!e],  то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65276

Темы:   [ Дискретное распределение ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Число e ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

  По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 "В" пошли в тир. Известно, что в 8 "В" n мальчиков. В тире, куда пришли ребята, n мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается поражённой, если в нее попал хоть один мальчик.
  а) Найти среднее количество поражённых мишеней.
  б) Может ли среднее количество поражённых мишеней быть меньше ⁿ/₂?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями