Версия для печати
Убрать все задачи
Доказать, что среди чисел [2
k ·
] бесконечно много составных.
Решение
Пусть
a и
b — целые числа. Напишем число
b справа от числа
a. Если
число
a чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем
из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число
a1 напишем
под числом
a. Справа от числа
a1 напишем число 2
b. С числом
a1
проделаем ту же операцию, что и с числом
a, и, получив число
a2, напишем
его под числом
a1. Справа от числа
a2 напишем число 4
b и так далее.
Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получим в левом столбце число 1.
Доказать, что сумма тех чисел правого столбца, слева от которых стоят нечётные
числа, равна произведению
ab.
Решение
Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.
Решение
В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и середины S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ
и ST. Найдите длину отрезка MN.
Решение
Фильтр
