Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]

Задача 58212 (#24.007)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Разрезания на параллелограммы	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Розенблюм Г.В.

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади K.

Прислать комментарий Решение

Задача 58213 (#24.011)

Тема:

[

Целочисленные решетки (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58214 (#24.012)

Тема:

[

Целочисленные решетки (прочее)

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58215 (#24.008)

[Теорема Минковского]

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.

Прислать комментарий Решение

Задача 58216 (#24.009)

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса $\sqrt{n^2+1}$ с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < ${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$ , то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]