Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]

Задача 66685

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

На плоскости дано конечное множество $S$ точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множество разделимым, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из $S$ образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество $S$ разделимо?

Прислать комментарий Решение

Задача 66935

Тема:

[

Невыпуклые многоугольники

]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Назовем почти выпуклым несамопересекающийся многоугольник, у которого ровно один внутренний угол больше $180^\circ$.

На плоскости даны $1000000$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Может ли оказаться, что существует ровно десять различных почти выпуклых $1000000$-угольников с вершинами в этих точках?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66954

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Пусть $AM$ – медиана неравнобедренного треугольника $ABC$, $T$ – точка касания вписанной окружности $\omega$ со стороной $BC$, $S$ – вторая точка пересечения $\omega$ с отрезком $AT$. Докажите, что вписанная окружность треугольника $\delta$, образованного прямыми $AM$, $BC$ и касательной к $\omega$ в точке $S$, касается описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66956

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:

– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.

– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.

Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 64862

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку L_a, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки L_b, L_c и L_d соответственно. Оказалось, что четырёхугольник L_aL_bL_cL_d вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]