ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Белухов Н.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 44]      



Задача 66688

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $1$. Найдите наибольшее возможное значение величины $\frac1{AC^2}+\frac1{BD^2}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 64749

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Построение треугольников по различным точкам ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Доказательство от противного ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64883

Темы:   [ Общие четырехугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три окружности пересекаются в одной точке ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A1, сторону LM в точках B и B1, и т.д. Докажите что
  а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD1A1, LA1B1, MB1C1 и NC1D1 также пересекаются в одной точке Q;
  б) точка O лежит на серединном перпендикуляре к PQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65024

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что  AB·CF = 2BC·FACD·EB = 2DE·BCEF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65046

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Теорема о группировке масс ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда  IM : AC = IN : BD.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 44]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .