Задача 1

В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.

Задача 2

В сериале "Тайна Санта-Барбары" участвует 20 героев. Каждую серию происходит одно из событий: некоторый герой узнаёт Тайну, некоторый герой узнаёт, что кто-то знает Тайну, некоторый герой узнаёт, что кто-то не знает Тайну. Какое наибольшее число серий может продолжаться сериал?

Задача 3

В квадрате со стороной 1 расположено 100 фигур, суммарная площадь которых больше 99. Докажите, что в квадрате найдется точка, принадлежащая всем этим фигурам.

Задача 4

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

Задача 5

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что отношение максимальной скорости полицейского и максимальной скорости гангстера равно:   а) 0,5;   б) 0,49;   в) 0,34;   г) ⅓.   Сможет ли полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером?