Задача 98830

Тема:    [ Нерекурсивная генерация объектов ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

Перечислить все разбиения целого положительного числа n на целые положительные слагаемые (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются за одно). (Пример: n=4, разбиения 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1, 4.)

Решение

Договоримся, что (1) в разбиениях слагаемые идут в невозрастающем порядке, (2) сами разбиения мы перечисляем в лексикографическом порядке. Разбиение храним в начале массива x[1]..x[n], при этом количество входящих в него чисел обозначим k. В начале x[1]=...=x[n]=1, k=n, в конце x[1]=n, k=1. В каком случае x[s] можно увеличить, не меняя предыдущих? Во-первых, должно быть x[s-1]>x[s] или s=1. Во-вторых, s должно быть не последним элементом (увеличение s надо компенсировать уменьшением следующих). Увеличив s, все следующие элементы надо взять минимально возможными.

        s := k - 1;
        while not ((s=1) or (x[s-1] > x[s])) do begin
        | s := s-1;
        end;
        {s - подлежащее увеличению слагаемое}
        x [s] := x[s] + 1;
        sum := 0;
        for i := s+1 to k do begin
        | sum := sum + x[i];
        end;
        {sum - сумма членов, стоявших после x[s]}
        for i := 1 to sum-1 do begin
        | x [s+i] := 1;
        end;
        k := s+sum-1;

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	А.Шень
Название	Программирование: теоремы и задачи
Издательство	МЦНМО
Издание	второе
Год издания	2004
глава
Номер	2
Название	Порождение комбинаторных объектов
параграф
Номер	4
Название	Разбиения
задача
Номер	2.4.1