ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98621
Темы:    [ Итерации ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Предел функции ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a1, a2, a3, ... такова, что
P(a1) = 0,  P(a2) = a1P(a3) = a2,  и т.д. Какую степень может иметь P(x)?


Решение

  Константа, очевидно, не удовлетворяет условию.
  Годится, например, многочлен  P(x) = x – 1.
  Заметим, что старший коэффициент многочлена P положителен (иначе,  P(x) < 0  при достаточно больших положительных х, и количество положительных значений в натуральных точках конечно). Если степень P выше первой, то и у многочлена  P(x) – x  старший коэффициент положителен, поэтому найдётся такое натуральное N, что  P(x) > x  для каждого  xN.  Пусть указанная последовательность существует. Начиная с некоторого номера члены, меньшие N, закончатся, то есть найдётся такое n, что  ak ≥ N  при всех  k > n.  Тогда  an = P(an+1) > an+1an+1 = P(an+2) > an+2,  ..., то есть
an > an+1 > an+2 > ...  – бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно.


Ответ

Только первую степень.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .