|
|
 |
Условие
а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере ⅔ задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере ⅔ школьников. Известно также, что по крайней мере ⅔ школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере ⅔ задач контрольной. Могло ли такое быть?
Изменится ли ответ, если везде в условии заменить ⅔ на б) ¾; в) 7/10?
Решение
а) Пример. Пусть на контрольной было три задачи, треть школьников решила первую и третью, треть – вторую и третью, остальные – ничего.
б) Нарисуем на единичном квадрате таблицу, где строки соответствуют ученикам, а столбцы – задачам; при этом школьникам, написавших контрольную хорошо, отведём верхние строки, а трудным задачам – левые столбцы. Если школьник решил задачу, то клетку на пересечении соответствующих строки и столбца сделаем чёрной.
Оценим площадь чёрной области двумя способами. Уже в строках хороших учеников закрашено не менее ¾·¾ = 9/16. С другой стороны, в столбцах трудных задач закрашено не более ¼·¾, в остальных столбцах – всего не более ¼, итого не более 7/16. Противоречие.
в) Нарисуем и закрасим таблицу, как в б). Оценим двумя способами площадь S чёрной области, расположенной в левом верхнем углу – квадрате 0,7×0,7. Каждая строка пересекает эту область по прямоугольникам одинаковой высоты с суммой длин не меньшей 0,7 – 0,3, следовательно, S ≥ 0,7·0,4 = 0,28.
С другой стороны, каждый столбец пересекает эту область по прямоугольникам с суммой высот, не большей 0,3, следовательно, S ≤ 0,3·0,7 = 0,21. Противоречие.
Ответ
а) Могло. б), в) Изменится.
Замечания
1. Можно обойтись и без таблицы. В б) это совсем просто. Пусть было n школьников и z задач. Общее число решений трудных задач во всех работах, с одной стороны, не меньше 3n/4·3z/4 = 9nz/16, а с другой – не больше 7nz/16.
В пункте в) возникают небольшие технические осложнения.
Пусть число трудных задач равно tz. Каждую трудную задачу решило не более 0,3n школьников, поэтому общее число сданных решений трудных задач не больше 0,3ntz. С другой стороны, хороших школьников не меньше 0,7n. Каждый сдал не менее 0,7z решений, из них не более (1 – t)z лёгких, значит, не менее 0,7z – (1 – t)z = (t – 0,3)z трудных задач. В итоге сдано не менее 0,7(t – 0,3)nz решений трудных задач. Из неравенства 0,3tnz ≥ 0,7(t – 0,3)nz получаем t ≤ 0,525, что противоречит условию.
2. Пусть в условии вместо ⅔ стоит число p < 1. Подсчитывая двумя способами площадь, как в решении в), получим неравенство p(2p – 1) ≤ p(1 – p), откуда p ≤ ⅔. Из а) видно, что эта оценка точна. А вот подсчет общей площади чёрных клеток (как в решении п. б)) даст всего лишь неравенство – эта оценка не точна.
3. Баллы: 1 + 2 + 2.
