Задача 98574

Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Авторы: Спивак А.В., Хачатурян А.В.

Верно ли, что на графике функции  y = x³  можно отметить такую точку A, а на графике функции  y = x³ + |x| + 1  – такую точку B, что расстояние AB не превысит ¹/₁₀₀?

Решение 1

  Положим  c = 100³ + 100 + 1,     Поскольку  (100 + δ)³ = с,  точки  A(100 + δ, c)  и  B(100, c)  лежат на соответствующих графиках. При этом  AB = δ.  Но  3·100²·δ < (100 + δ)³ – 1003 = 101,  то есть  

Решение 2

  Положим  δ = 0,01.  Найдётся такое положительное число x, что точки  A(x + δ, (x + δ)³)  и  B(x, x³ + x + 1)  имеют одинаковые ординаты (тогда  AB = δ). 
  Действительно,  (x + δ)³ = x³ + x + 1  ⇔  3x²δ + (3δ²– 1)x + δ³ – 1 = 0.  Поскольку свободный член отрицателен, уравнение имеет два корня, причём разного знака.

Ответ

Верно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2