ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98553
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – это степень числа 10.


Решение

  Пусть первое число  A1 = a1...am,  а разность прогрессии  D = d1...dk.
  Рассмотрим число n, гораздо большее чем m и k. Положим  i = 1 + 10n.  Тогда в i-м члене     подчёркнуто число     Но это можно сделать (так как  a1 ≠ 0)  только в случае, когда  a1 = 1,  а D оканчивается на  

    "Расположить" в этом числе число     можно только если  k – m = 0.  Следовательно,  D = 10m–1.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .