ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98450
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что существует бесконечно много нечётных n, для которых число  2n + n  – составное.


Решение 1

Выберем n таким, чтобы оба слагаемых были точными кубами:  n = (3m)³,  где m – произвольное нечётное число. Тогда  2n = (29m³)³,  и поэтому
2n + n = (29m³ + 3m)(218m³ – 3m·29m³ + 9m²).  Оба множителя, очевидно, больше 1.


Решение 2

Положим  n = 6m + 1.  Тогда  2n + n = 26m+1 + 6m + 1 = (26m+1 + 1) + 6m.  Оба слагаемых делятся на 3.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .