Условие
В таблицу записано девять чисел:
Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:
a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3.
Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её
столбцов:
a1b1c1 +
a2b2c2 +
a3b3c3 =
a1a2a3 +
b1b2b3 +
c1c2c3.
Решение 1
Первый способ. Рассмотрим верное равенство
(a1 + b1 + c1)³ + (a2 + b2 + c2)³ + (a3 + b3 + c3)³ = (a1 + a2 + a3)³ + (b1 + b2 + b3)³ + (c1 + c2 + c3)³. (*)
И в левой части этого равенства, и в правой встречаются кубы всех девяти чисел
a1, ...,
c3. Коэффициенты при
в левой и правой частях равны соответственно 3(
b1 +
c1) и 3(
a2 +
a3). Эти числа равны, поскольку
a1 +
a2 +
a3 =
a1 +
b1 +
c1. Аналогично равны коэффициенты при
Значит, из равенства (*) следует равенство 6
a1b1c1 + 6
a2b2c2 + 6
a3b3c3 = 6
a1a2a3 + 6
b1b2b3 + 6
c1c2c3.
Второй способ. Пусть S = a1 + a2 + a3. Заметим, что
Складывая аналогичные тождества, получим, что каждое из выражений
6(
a1a2a3 +
b1b2b3 +
c1c2c3) и 6(
a1b1c1 +
a2b2c2 +
a3b3c3) равно
Решение 2
Доказываемое соотношение можно записать в виде равенства нулю определителя: 
Но он не изменится, если из первой и второй строки вычесть третью: 
В полученном определителе все числа в первой строке равны. Например,
a1 – c2 = c3 – b1 ⇔ a1 + b1 = c2 + c3 ⇔ a1 + b1 + c1 = c1 + c2 + c3. Аналогично проверяется равенство всех чисел во второй строке. Таким образом, в этом определителе две первые строки пропорциональны. Следовательно, он равен нулю.
Замечания
1. Задачу можно решить простым (но весьма трудоемким) способом: выразить все величины через a1, a2, a3, b1 и b2; подставить полученные выражения в левую и правую части и убедиться, что получится одно и то же.
2. 5 баллов.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
Турнир |
|
Дата |
1998/1999 |
|
Номер |
20 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс |
|
Задача |
|
Номер |
3 |
