ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98369
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что уравнение  xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = 6  имеет бесконечно много решений в целых числах.


Решение

xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = xy(x – y) + yz(y – z) + zx((z – y) + (y – x)) = xy(x – y) – zx(x – y) + yz(y – z) – zx(y – z) =
= x(y – z)(x – y) + z(y – z)(y – x) = – (x – y)(y – z)(z – x).
Теперь понятно, что если  (x, y, z)  – решение, то для любого целого t тройка  (x + t, y + t, z + t)  тоже является решением. Таким образом, из частного решения  (3, 1, 0)  получаем бесконечную серию  (t + 3, t + 1, t).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1997/1998
Номер 19
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .