ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98346
Тема:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a и b – натуральные числа. Известно, что  a² + b²  делится на ab. Докажите, что  a = b.


Решение

Пусть  d = НОД(a, b) – наибольший общий делитель чисел a и ba = dub = dv.  Сокращая на d², получим, что  u² + v²  делится на uv. Но
НОД(u² + v², uv) = 1,  так как u и v взаимно просты. Следовательно,  uv = 1.  Значит,  u = v = 1,  a = b = d.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .