|
|
 |
Условие
Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади?
(Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам
окружностей.)
Решение
Предположим, что такое разрезание возможно. Рассмотрим кусочки, составляющие квадрат. Выберем из них все те, в границу которых входят дуги, которые составляли границу круга или являются дугами того же радиуса r. В квадрате суммы длин этих дуг, к которым кусочки примыкают "изнутри" и "снаружи" (с вогнутой и выпуклой сторон), очевидно, равны. А в круге разность между теми и другими должна равняться длине окружности 2πr. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
Замечания
1. Ссылка на теорему о невозможности квадратуры круга (далеко выходящую за рамки школьной программы) ничего не дает, ибо здесь не требовалось пользоваться только циркулем и линейкой. Скажем, не запрещалось вырезать из круга сектор в 20°, а этот угол невозможно построить циркулем и линейкой.
2. 3 балла.
