ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98314
Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?


Решение

  Правильный треугольник со стороной  n = 3k  легко разбить на правильные треугольнички со стороной 3. Каждый из них разбивается на три трапеции (см. рис.).

  Если правильный треугольник со стороной n разбит на m трапеций, то его площадь равна, с одной стороны, n²S, где S – площадь правильного треугольника со стороной 1, а с другой стороны, она равна 3mS (трапеция состоит из трёх треугольников со стороной 1). Отсюда  n²S = 3mS  или  n² = 3m,  то есть n кратно 3.


Ответ

При n, кратных 3.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .