|
|
 |
Условие
Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?
Решение 1
На рис. слева изображен пятиугольник с углами 60° и 120° и сторонами 2, 4, 8, 6, 12. У отсекаемого подобного пятиугольника все размеры в два раза меньше.
Решение 2
Будем рассматривать пятиугольники, в которых все углы равны. Нетрудно понять, что если три последовательные стороны одного такого пятиугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти пятиугольники подобны. Пусть ABCDE – такой пятиугольник со сторонами AB = a, BC = ka и CD = k²a, где ⅔ < k < 1 (рис. справа). Так как BC > CD, то ∠DBC < ∠BDC. Следовательно, ∠ABD > ∠EDB, то есть ED > AB. Поэтому на ED найдётся такая точка E1, что DE1 = k³a. Проведя через E1 прямую, параллельную AE, до пересечения с AB в точке A1, получим пятиугольник BCDE1A1, подобный ABCDE.
Ответ
Существует.
Замечания
5 баллов
