|
|
 |
Условие
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость xOy графики 100 квадратных трехчлёнов вида
y = anx² + bnx + cn (n = 1, 2, ..., 100)?
Решение
Докажем по индукции, что n парабол указанного вида могут разбить плоскость не более чем на n² + 1 часть.
База. Одна парабола разбивает плоскость на 2 = 1² + 1 части.
Шаг индукции. n-я парабола пересекается с каждой из остальных не более, чем в двух точках. Эти точки пересечения, а их m ≤ 2n – 2, разбивают её на m + 1 кусок. Каждый такой кусок разбивает одну из "старых" частей плоскости на две, то есть количество частей увеличивается не более чем на 2n – 1. В силу индуктивного предположения, число частей разбиения n параболами не превосходит 2n – 1 + (n – 1)² + 1 = n² + 1.
Построим теперь разбиение плоскости 100 параболами 100²+ 1 часть. Рассмотрим параболы y = anx² – n. При этом возьмём a1 = 1,
а остальные an > 0 будем строить индуктивно так, чтобы модуль абсцисс точек пересечения n-й параболы с осью Ox был меньше, чем модули абсцисс точек пересечения всех предыдущих парабол между собой и с осью абсцисс. Тогда, очевидно, каждые две параболы пересекаются в двух точках ниже оси абсцисс и никакие три не пересекаются в одной точке. Из предыдущих рассуждений следует, что число частей разбиения будет максимальным.
Ответ
На 10001 часть.
Замечания
6 баллов
