ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98030
Темы:    [ Разрезания на параллелограммы ]
[ Шестиугольники ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.


Решение

  Если s – площадь параллелограмма, а S – площадь шестиугольника ABCDEF, то  Ns = S.
  Начав с произвольного параллелограмма KLMN, построим цепочку параллелограммов со сторонами, параллельными KL (см. решение задачи 97796). Эта цепочка закончится на одной из сторон шестиугольника, значит, KL параллельна одной из этих сторон. Итак, стороны каждого параллелограмма параллельны сторонам шестиугольника.
  Рассмотрим фигуру, составленную из всех параллелограммов со стороной, параллельной AB (будем считать её вертикальной). Ее можно разрезать на цепочки, начинающиеся на AB и кончающиеся на DE, в каждую из которых входят параллелограммы с постоянной вертикальной стороной a (см. там же). Сумма горизонтальных высот этих параллелограммов равна расстоянию h между AB и DE, поэтому общая площадь цепочки равна ah. Сумма "начальных" сторон всех цепочек равна AB, поэтому площадь всей фигуры равна площади фигуры ABCDEO (O – центр шестиугольника), то есть 2S/3. Следовательно, количество параллелограммов площади s со сторонами, параллельными AB, равно  2S/3s = 2N/3.  Отсюда ясно, что N кратно 3.

Замечания

1. 7 баллов.

2. Ср. с задачей М1213 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .