Задача 98015
|
|
 |
Условие
На плоскости дано N прямых (N > 1), никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.
Решение
Раскрасим плоскость в 2 цвета – белый и чёрный – так, чтобы соседние (имеющие общий участок границы) части были разного цвета (см. задачу 34930). В каждой точке пересечения прямых расставим по кругу числа 1, –1, 1, –1 так, чтобы единицы стояли в белых областях. Теперь в каждой области напишем сумму чисел, стоящих в ее углах. Очевидно, эта расстановка удовлетворяет условию.
Замечания
7 баллов
