ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97946
Темы:    [ Наименьший или наибольший угол ]
[ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три треугольника – белый, зелёный и красный – имеют общую внутреннюю точку M. Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника так, чтобы точка M находилась внутри или на границе треугольника, образуемого выбранными вершинами.


Решение

  Рассмотрим всевозможные углы, образуемые отрезками, идущими из M в некоторые две вершины разного цвета. Пусть наибольший из этих углов – ∠AMB ≤ 180°, причём A – красная точка, B – белая. Тогда внутри углов AMB' и BMA', смежных с углом AMB, нет зелёных вершин (см. рис.).

  Поэтому в вертикальном по отношению к углу AMB угле A'MB' должна найтись хотя бы одна зелёная вершина C (иначе все три зелёные вершины оказались бы внутри угла AMB, и зелёный треугольник не содержал бы внутри себя точку M). Треугольник ABC – искомый: он содержит точку M, поскольку M лежит по одну сторону с C от прямой AB, а отрезки AC и BC пересекают продолжения отрезков BM и AM соответственно.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1989
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М1157
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 9
Дата 1987/1988
вариант
Вариант осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .