ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97861
Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти все решения системы уравнений:   (x + y)³ = z,  (y + z)³ = x,  (z + x)³ = y.


Решение 1

  Вычитая из первого уравнения второе, получим:   (x – z)((x + y)² + (x + y)(y + z) + (y + z)²) = – (x – z).
  Поскольку выражение вида  a² + ab + b²  не может быть отрицательным,  x = z.  Аналогично  x = y.
  Осталось решить уравнение  (2x)³ = x.


Решение 2

В силу симметрии системы уравнений можем считать, что  x ≥ y.  Тогда  (y + z)³ = x ≥ y = (z + x)3,  поэтому  y + z ≥ z + x,  то есть  y ≥ x.  Значит,  x = y.  Аналогично  y = z


Ответ

Замечания

1. Задача предлагалась также на 51-й Ленинградской математической олимпиаде (1985, 8 кл., зад. 2).

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1984/1985
Номер 6
вариант
Вариант весенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .