ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 88308
Темы:    [ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В одной вершине куба написано число 1, а в остальных – нули. Можно прибавлять по единице к числам в концах любого ребра.
Можно ли добиться, чтобы все числа делились  а) на 2;  б) на 3?


Решение

а) Вначале сумма чисел, стоявших в вершинах куба, равна единице, то есть нечётна. Каждый раз мы к двум вершинам добавляем по единице, так что сумма остаётся нечётной. Поэтому числа во всех вершинах не могут стать чётными.

б) Раскрасим вершины в шахматном порядке. После этого заметим, что сумма чисел в белых вершинах отличается от суммы чисел в чёрных на единицу: каждый раз добавляется по 1 и к белой вершине, и к чёрной. Два числа, отличающиеся на 1, не делятся одновременно на 3, а если бы все числа в белых (чёрных) вершинах делились на 3, то и их суммы делились бы на 3.


Ответ

а), б) Нельзя.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения МЦНМО
класс
Класс 7
год
Год 2004/2005
занятие
Номер 10
Название Инварианты
Тема Инварианты
задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .