ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 88306
Темы:    [ Инварианты ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их суммой ab + a + b. Какое число может получиться после 19 таких операций?

Решение

Заметим что имеет место равенство ab + a + b = (a + 1)(b + 1) − 1. Подсчитаем аккуратно результат после применения двух таких операций, то есть для трех чисел abc. После первой операции останутся числа (a + 1)(b + 1) − 1, с. После второй операции надо взять произведение новых чисел, увеличенных на 1, и от произведения отнять 1, т.е.
(((a + 1)(b + 1) − 1) + 1)(c + 1) − 1 = (a + 1)(b + 1)(c + 1) − 1.
Аналогично для любого количества чисел.

Ответ

21! − 1.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения МЦНМО
класс
Класс 7
год
Год 2004/2005
занятие
Номер 10
Название Инварианты
Тема Инварианты
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .