Задача 87613

Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Нарисуйте изображение куба, полученное в результате ортогонального проектирования куба на плоскость, перпендикулярную диагонали куба.

Решение

Рассмотрим ортогональную проекцию куба ABCDA1B1C1D1 (рис.1) с ребром a на плоскость γ , перпендикулярную диагонали BD1 и проходящую через вершину D1 . При этом проектировании вершины B и D1 перейдут в точку D1 . Пусть α угол между ребром DD1 и диагональю BD1 (рис.2). Тогда угол между прямой DD1 и плоскостью γ равен 90^o -α . Из прямоугольного треугольника BDD1 находим, что

cos α = = = , sin α = = = .
Значит, ортогональная проекция ребра DD1 на плоскость γ равна
DD1 cos (90^o - α) = a sin α = .
Поскольку рёбра AA1 , CC1 и BB1 равны и параллельны ребру DD1 , их ортогональные проекции на плоскость γ также равны . Ясно, что угол между ребром C1D1 и диагональю BD1 такаже равен α . Значит, ортогональная проекция ребра C1D1 на плоскость γ равна C1D1 cos (90^o - α) = a sin α = . Поскольку рёбра AB , A1B1 и CD равны и параллельны ребру C1D1 , их ортогональные проекции на плоскость γ также равны . Таким образом, ортогональная проекция куба на плоскость γ есть шестиугольник, все стороны которого равны . Так как диагональ AC квадрата ABCD перпендикулярна диагонали BD1 куба, то её ортогональная проекция на плоскость γ параллельна и равна отрезку AC = a . Пусть A2 , B2 и C2 – ортогональные проекции вершин соответственно A , B и C на плоскость γ (рис.3). Тогда в треугольнике A2B2C2 известно, что
A2C2 = a, A2B2 = B2C2 = .
Поэтому A2B2C2 = 120^o . Аналогично, все углы шестиугольника, являющегося ортогональной проекцией куба ABCDA1B1C1D1 на плоскость γ , равны 120^o . Следовательно, этот шестиугольник правильный.

Ответ

Правильный шестиугольник со стороной , где a – ребро куба.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8216