Задача 87608

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Двугранный угол ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Плоские углы при вершине D пирамиды ABCD равны 90^o . Обозначим через S1 , S2 , S3 и Q площади граней ABD , BCD , CAD и ABC соответственно, через α , β и γ – двугранные углы при рёбрах соответственно AB , BC и AC . 1. Выразите α , β и γ через S1 , S2 , S3 и Q . 2. Докажите, что S21 + S22 + S23 = Q2 . 3. Докажите, что cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1 .

Решение

Прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и BD плоскости ABD , поэтому прямая CD перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник ABD есть ортогональная проекция треугольника ABC на плоскость ABD . По теореме о площади ортогональной проекции S_{Δ ABD} = S_{Δ ABC} cos α , откуда находим, что

cos α = = .
Аналогично, cos β = и cos γ = . Обозначим AD = a , BD = b , CD = c . Тогда
S1 = AD· BD = ab, S2 = BD· CD = bc, S3 = AD· CD = ac.
Пусть CM – высота треугольника ABC . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах DM – высота прямоугольного треугольника ABD . Далее имеем:
DM2 = = ,

CM2 = DM2 + CD2 = + c2 = ,

S21 + S22 + S23 = a2b2 + b2c2 + a2c2 =

= (a2b2 + b2c2+ a2c2) = CM2(a2 + b2) = CM2· AB2 = Q2,

cos 2α + cos 2β + cos 2γ = ()2 + ()2 + ()2 =

= = = 1.

Ответ

cos α = ; cos β = ; cos γ = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8211