Задача 87598

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Пусть ABC – равносторонний треугольник. Через прямые AB , BC и AC проходят три плоскости, образующие угол ϕ с плоскостью ABC и пересекающиеся в точке D1 . Кроме того, через эти же прямые проходят плоскости, образующие угол 2ϕ с плоскостью ABC и пересекающиеся в точке D2 . Найдите ϕ , если известно, что точки D1 и D2 находятся на равных расстояниях от плоскости ABC .

Решение

Обозначим через a сторону равностороннего треугольника ABC . Тогда радиус вписанной окружности треугольника равен , а радиус вневписанной окружности – . Боковые грани треугольной пирамиды ABCD1 образуют равные углы с плоскостью основания ABC , поэтому высота D1O1 пирамиды проходит через центр вписанной или через центр вневписанной окружности треугольника ABC . Аналогично, высота D2O2 также проходит через центр вписанной или через центр вневписанной окружности треугольника ABC . Если O1 и O2 совпадают с центром вписанной окружности треугольника ABC или и O1 , и O2 являются центрами вневписанных окружностей, то либо

D1O1 = · tg ϕ < · tg 2ϕ = D2O2,
либо
D1O1 = · tg ϕ < · tg 2ϕ = D2O2,
что противоречит условию задачи ( D1O1 = D2O2 ). Если O1 – центр вписанной, а O2 – вневписанной окружности треугольника ABC , то
D1O1 = · tg ϕ, D2O2 = · tg 2ϕ,

· tg ϕ = · tg 2ϕ,

tg ϕ = 3 tg 2ϕ, tg ϕ = ,
откуда tg 2ϕ = -5 , что невозможно. Если O1 – центр вневписанной, а O2 – вписанной окружности треугольника ABC , то
D1O1 = · tg ϕ, D2O2 = · tg 2ϕ,

· tg ϕ = · tg 2ϕ,

3 tg ϕ = tg 2ϕ, 3 tg ϕ = ,
откуда tg 2ϕ = , ϕ = 30^o .

Ответ

30^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8201